教你证明题思考途径

教你证明题思考途径

前几天,在微头条上发表了一道试题的7种证明方法,今天就以这道题目为例,来谈谈证明题的思考途径——线段(角)的相等。这类试题真的是最基础的证明题!

原题如下:正方形ABCD中,E是CD的中点,F是DA的中点,连接BE、CF,它们相交于P(如图所示)。求证:AP=AB。

我们作图给出七种证法的思考过程:

构造全等:图一、图二、图三;证ABP等腰,图四;巧作中垂线,图五;计算方法2钟:余弦定理(这个可以不用作图),勾股定理(图六)

图一

图二

图三

图四

图五

图六

从例题的各种证法,可以总结如下三条证明线段(角)相等的思考途径:

一、构造全等形

利用全形的对应边(角)相等。我们可以将欲证其相等的二线(角)看成对应边(角),试着去构造两个适当的三角形,然后去证明它们全等以达我们的目的。

构造所需的全等形,说起来轻松、容易、做起来往往困难重重,从上例和其他一些题目中,所构造的全等形,常常不是出现在最初的证法中。凭此,也足可以说明:全等形有时造之不易。因为全等形一旦构造出来,相应的证法,往往具有思路清晰、结构紧凄和过程简明的优点,因而也易于流传。至于如何去造所需的全等形,实无定法、不过根据个人长期解题每有发现时,而悟出的如下两点心

得:(i)抓住关键,尽量发挥题设的特点 (i)集中有关的点、线,使之产生联系,使之充分发挥作用。

解题之难,常在抓不住要害,因为抓不住关键,就势必误入歧途,不是行不通,就是在次要的地方兜圈子,自然难以进展.如果能说迎刃而解,这“刃”正是关键,因此,抓住问题中起决定作用的条件,尽量的利用它、发挥它,把注意力集中在题目中起决定作用的地方,犹如刀用在刀刃上,定会收到较好的效果.譬如前面的例1,抓住条件引申出的垂直关系(BE⊥CF)并充分发挥,多种证法随之而出。

解题之难,也发生在题目的条件、结论过于分散和孤立,因而不易看出其间的联系,以致不好下手,这时不妨试探着:把条件集中,以求共同发择较大的作用;把条件与结论,结论之间的点线集中起来,以求发现和沟通其间的联系。

二、利用能产生线段(角)相等的定理

以上例题的多种证法中,不难看出:构造全等形只不过是证相等的手段之一。普遍地说,凡是结论中出现线段(角)的定理,都可以用来作为证明相等的工具。

这些定理,我们就不一一说了,定力是基石,必须要熟练掌握。

三、借助计算

几何图形的大小、形状和位置关系,都可看作数量或数量关系。因此,许多儿何题目也可以通过计算而达证明的目的,如上面的证法(勾股定理、余弦定理),使是靠计算线段之长而肯定它们相等的。

计算途径太致有こ:一是通过坐标把几何问题转化成代数对象(坐标、方程······)再经代数运算加以解决后,再回到几何上去;二是依靠几何中用定理反映的某些公式(如勾定理、正弦定理、余弦定理······)去计算线段和夹角,从面达到证明的目的,前者属于解析几何的研究对象,后者正是几何固有的内容和方法。

初等几何一直以严密的推理为其显著的特点,希望大家多总结、多思考,逐渐形成严密的逻辑!今天我们就聊这么多吧。

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