【反例_360百科】【浅谈反例在中学数学教学中的作用】

【反例_360百科】【浅谈反例在中学数学教学中的作用】

反例

定义领域

逻辑学

应用领域

数学,哲学

在逻辑学中,反例是相对于某个全称命题的概念。反例在数学、哲学和自然科学中都有重要的应用。要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例。

折叠数学应用

数学中,反例常被用于证明之中。有许多数学猜想或命题的叙述是全称命题,声称所有的一类事物都有某种性质,或者是只要满足某个条件,就会得出某种结果。当证明这样的数学猜想遇到困难时,数学家会趋向于寻找一个反例,以说明这个猜想是错误的。

此外,某些反例可以帮助人们更好地理解一些数学概念的性质。这是因为反例的存在表示着:由某些事物A满足条件P,但没有性质Q。这样可以避免使用全称推断造成的错误结果。

折叠哲学应用

在哲学中,大部分的结论和推断都是较为广泛而无法象数学中一样严格证明的,因此构造反例主要是为了说明某个哲学理论或论断无法适用于某种特殊情况。一个有名的例子是葛梯尔问题。长期以来西方哲学中对于知识的概念可以概括为所谓JTB理论,即得到辩护的真信念(justified true belief)。1960年代,盖梯尔发表了一篇论文,其中提出对这种定义的质疑,并举出了反例,使得对何谓知识的定义重新成为哲学界探讨的话题。

"JTB理论"的内涵是:某个人A"知道"某个事实B,是指:

B是真的;

A相信B是真的;

A相信B为真是得到辩护的(或者说有理由的、合理的)。

这样的情况下,我们说A掌握了关于B的知识。这样获得的知识是真实可靠的。JTB理论中的每一点都是必要的。比如说,某人买了彩票后弄丢了,然后他认为自己也没有中彩票。虽然事实上他也没中,但由于他的相信是无理由的(未经辩护),所以不能称作是知识:他并不知道自己的确没中彩票。然而,盖梯尔对这样的定义提出了质疑,认为即使满足了这三点,也未必能够称为知识。他举的反例如下:

史密斯被告知琼斯有一辆福特车,他因此相信这件事,并同时也有理由相信:"或者琼斯有一辆福特车,或者布朗在巴塞罗那",虽然他根本不知道布朗在哪里。事实上,琼斯并没有福特车,但是布朗的确在巴塞罗那,所以史密斯相信的事情是真的(真信念),并且是得到辩护了的,但并不是知识。

一开始,哲学家们认为很快就可以找到一个简单的解决办法。然而,更多的"盖梯尔式"的反例被制造出来,使得附加了各种额外要求的JTB理论仍然无法准确地描述"知道"这个概念。这是因为盖梯尔问题的解决涉及到认识论的根本问题,如何为可靠的辩护,何谓真理等等。

专访菲尔兹奖得主高尔斯:漫游音乐与数学,发现古老猜想反例

新浪 11-04

浅谈反例在中学数学教学中的作用

【浅谈反例在中学数学教学中的作用】

【摘 要】反例在中学教学中有着非常重要的地位,文章结合一些实例讨论了反例在中学数学教学中的作用,并指出了在使用和构造反例时应注意的问题。

【关键词】反例 数学教学 作用

一、引言

一个正确的命题自然伴随着正确的证明,起之有因,论之有据。然而,一个错误的命题之所以为错误,最好的说明方式就是只须指出其在符合题设的某个特殊情形下,用一个大家都能认可的例子来说明该结论不成立,就足以说明问题了,这就是反例。在数学的发展历史中,反例和证明同样重要:一个数学真命题往往需要严密的证明,而假命题则靠反例加以鉴别。数学家盖尔鲍姆和奥姆斯特德曾指出“数学有两大类――证明和反例组成,而数学发现也是朝着两个主要的目标――提出证明和构造反例”。同样,反例对巩固和加深对概念与定理的理解,以及对掌握相关概念的差异和层次方面有着正面说明或证明所无法取代的作用。在中学数学教学中,反例的试举已成为提高教学质量的重要的一环。另一方面,“反例教学”对培养学生的数学思维能力方面的作用也是显著的,它不仅有助于对学生纵向思维能力的培养,对其横向思维能力的培养和发展尤其具有不可缺少的作用。一个数学问题,用一个反例予以解决,给人的刺激犹如一出好的戏剧,所以,在中学数学教学中可以有意识地构造反例来解决实际问题,让学生从中领会神奇功效,从而使他们切实有效地掌握数学知识,提高数学能力。

二、反例在中学数学教学中的地位

《数学新课程标准》基本理念的核心内容有这样一条:“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动。内容的呈现应采取不同的表达方式以满足多样化的学习要求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、主动探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同,数学学习活动应当是一个生动的、主动的和富有个性的过程”。此理念说明了要赋予数学学习活动以生命的活力,要发展学生的实践能力和创新精神。数学教育不能再单纯地依赖模仿与记忆,要转变过去封闭、被动、接受性的学习方式,倡导动手实践、自主探索与合作交流学习数学的重要方式。那么,教师在教学过程中要凸显学习过程的探究性,就应注重创设问题情境,引发矛盾冲突,激发学习兴趣,激活探究欲望,提供探究材料,构建探究性活动过程,让学生在活动中探究,在探究中体验,在体验中发现,从而实现合作探究,自主构建。数学反例在中学教学中的应用恰好迎合此理念,它是激发学生学习兴趣,培养学生创新能力,开发学生创造性思维的一种必不可少的教学方法。数学家B・R・盖尔鲍姆说过,“一个数学问题如果用一个反例予以解决,给人的刺激犹如一出好戏剧,使人得到享受和兴奋,为数学做出许多最优雅的和艺术性很强的贡献,属于这个流派。”在中学阶段的数学教学中,数学反例的应用是一种必然的教学手段,适当地应用反例加强对学生构造反例能力的培养,将直接有效地推动教学质量的提高,使新课程标准下的教学理念真正得以体现,实现“教”与“学”的完美结合。

三、反例在中学数学教学中的作用

1.反例是加深对抽象概念和定理理解的重要手段。在中学数学教学中,我们不仅要运用正确的例子深刻阐明知识点,而且还要运用恰当的反例从另外一个侧面抓住概念和定理的本质,弥补正面教学的不足,从而加深学生对知识的理解。在概念教学中,对某些重要的概念,有时只从正面给出定义并举例说明还不够,为了加深对这一概念所具有的本质属性的理解,有时还要举出不符合定义的反例。例如,在函数概念的教学中,对函数这个定义,除了举出是函数的例子外, 如再举出不是函数的例子即反例,就能够加深学生对这一概念的理解。如设A是非负实数集,B是实数集,若规定 f 是把每个x ∈A送到它的平方根± ,问f是否是定义在A上的函数?诸如此类,可以让学生自己举出许多是或不是函数的例子,如果是函数,则需要按定义验证对于定义域A中每一点都有值域B中唯一一点与之对应;若不是函数,则只须举出一个反例,即找出A中一点,它在B中没有对应的点,或多于一个对应点。这样通过正反两方面的例子对比,加深了学生对这一概念的理解和掌握。在定理的教学中,教给学生正确地使用定理很重要,而初学者往往不注意分析定理的条件和适用范围,只记结论,生搬硬套,造成错误。例如,在平面几何中,两条直线垂直是相交的特殊情形,但在立体几何中,垂直和相交是没有直接关系的。在教授立体几何点、线、面各元素间的位置关系时,教师可以适时引进以下反例:两条互相垂直的异面直线不相交。显然,立体几何的线线、线面、面面关系中,除了线线垂直不一定相交、相交不一定垂直外(因为线线之间存在异面关系),其他情况下垂直是相交的特殊情形,对于许多同学来说,对这些关系的理解并不深刻,但若配合上述反例效果就不大一样,它可让学生澄清是非,对所学知识有更深刻的理解和认识。

2.反例不但是纠正错误的常用方法,而且是发现问题的重要途径。要使一个数学命题成立,就必须进行分析和严格的证明,而要推翻一个命题,只需找出这个命题在特殊情况下不成立的实例即可,因此,否定一个命题的最佳途径就是构造出一个反例。在中学概率的学习中,大多数学生认为试验次数很多,概率一定大。可通过下面反例予以说明,例如,在概率论的萌芽时期,有一个著名的德・梅尔问题:一颗骰子掷4次至少出现一次6点是有利的,而两颗骰子掷24次至少出现一次双6点是不利的。德・梅尔找不到解释的原因,这使他感到很苦恼,当时这一问题曾引起诸如帕斯卡、费马等数学家的注意。现在看来,利用独立试验概型容易求出它们的概率。设在n次独立重复试验中,事件“出现6(或双6)点”的概率为p,现考虑欲使1-(1-p)n≥0.5,则n≥-lg2/lg(1-p),此式给出了n的下界,使问题得以解决。以掷一颗骰子作试验,要连续掷n次使6点至少出现一次的概率大于等于0.5,则n≥3.8,以掷两颗骰子作试验,要连续掷n次,使双6点至少出现一次的概率大于等于0.5,则n≥24.6。由此得出,一颗骰子掷4次至少有一个6点的概率大于等于0.5,而两颗骰子掷24次至少有一次得双6点的概率小于0.5。本例说明试验次数多,概率却不一定大。

3.适时用反例去思考、解决问题是学生掌握所学知识的关键。学习过程是一个知识积累的过程,同时也是不断发现和纠正错误的过程。由于反例在辨析错误中具有直观、明显、说服力强等特点,所以举反例在揭露错误时有特殊的威力,通过反例教学,不但可以发现学习中的错误和漏洞,而且可以从反例中修补有关知识,从而获得正确的结论或解答。例如,运用正数的平均值定理的时候,忽视等号成立的条件是许多学生的误区,教学时可举以下反例:y = sin2x + ≥4 是正确的,但该函数的最小值是5,而不是4。设t = sin2 x,则t ∈(0,1 ],且y = t + ≥4 ,当且仅当t = 2上式取等号,但t不可能等于2,因此4不是该函数的最小值,那么,怎样寻求它的最小值呢?正确的解法是:y = sin2x +=, 设t =sinx ,由于函数为(关于t 的) 偶函数,且当t ∈(0 ,1 ]时,函数y =单调递减且函数值大于0,由此原函数当t∈(0,1]时,单调递减,因此,当t = 1 时,该函数取得最小值5。

4.反例能培养学生良好的发散性思维和创造性思维。在中学数学教学过程中,教师往往过于偏重演释论证的训练,注意培养学生的逻辑思维能力上。要知道解决问题固然重要,但没有发现问题何来的解决问题?为了克服教师的这一习惯教法,在教学中要鼓励学生敢于提出问题,不要对学生的问题或猜想给予讽刺和挖苦,甚至是打击,要引导学生在某些定理的条件、结论、某些定义的适用范围等要敢于猜想,对不是现成的定理要着眼于发现和创新,自己提出问题,猜想结果,使反例这一工具得以充分应用,这不仅可以使学生的创新能力得以提高,同时更有利于学生开展研究性学习,从而有效地提高教学质量。

5.反例能优化解题过程。解题是一种数学能力,获得问题的解答是智力活动与非智力活动协调统一的结果。对于中学生来说,解题是他们必须掌握的数学能力。通过解题,可以考察他们对知识的掌握情况。某段时间学生解题能力的变化,不仅代表着学生学习能力增强或降低,也暗示着学生在这段时间的心理特征。因此,教师在教学过程中更要注重学生解题能力的培养,时刻关注学生学习和心理的变化。学生在做数学题时遇到难以解决的问题是正常的现象,但是大多数学生总是千方百计地从正面寻找解题的出路,即使在他们一次次失败之后仍然想不到,是否可以举出一个反例来否定命题。对于一个命题来说,只要举出一个反例就可以否定一个命题的正确性,因此,引导学生从逆向思维的角度去解决问题不失为一个好办法。例如,“原函数f(x)与其反函数f -1(x),若它的图像有交点,则交点必在直线y = x上。”这个命题很容易给学生造成一种错觉认为是正确的,这时适当地提示学生,鼓励他们试着寻找一个反例来辨别真假,如果能找到一个反例就能说明这个命题是假的,否则为真。在这道题中,不难找出反例,如“函数y =- x和它反函数图像的交点恰好不在直线y = x上”。数学解题是一种技巧,这种技巧在应试的选择题上体现得更为强烈。培养学生通过举反例来完成选择题,既可以提高学生的解题速度,也可以增强其思维的灵活性。

四、在中学数学教学中使用及构造反例应注意的问题

在教学中重视和恰当地运用反例,不仅可以调动学生学习的积极性,养成重视条件、严密推理的习惯,还可提高学生的数学能力和学习能力,但必须注意:

第一,要在学生对所学知识有了一定的认识和理解的基础上,才能讲授。教师可根据学生知识的掌握情况和接受原则,在习题课或复习课上提出反例。

第二,教学中主要讲授概念、定理和方法,对基本命题和结论应予以严格的证明和推导,举反例重在说明结论,学生对反例的掌握要求不能太高,反例应是围绕主要内容的有效辅助手段。在数学推理中,构造反例与提出证明一样,是一项积极的创造性思维活动,二者具有同等重要的作用。在中学数学教学中,让学生掌握严密的推理逻辑与各种思维方法的同时,学会举反例亦十分重要。在概念与定理的教学中,构造巧妙的反例,能使概念与定理变得简捷明快,容易掌握;在习题训练的基本教学中,举反例是反驳与纠正错误的有效方法,是学生创建学习的有力武器。学会构造反例是数学爱好者必须掌握的技能,也是培养能力的重要手段,那么,它也应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中。在构造反例的过程中,一般应注意如下原则:

1.简洁性原则:即所举反例越简单越好,只要能说明问题即可。

2.直观性原则:即所举反例能尽量反映在图形上,使学生容易掌握。

3.直接性原则:即直接根据概念或者其矛盾概念举反例。

4.经验性原则:教师要根据自己的教学经历和实践给出反例。总之,构造反例没有固定的模式,有时甚至并非易事。因此,在数学教学中,要以反例否定错误命题,预防和纠正错误认识,培养学生缜密的思维品质;同时,必须把握好反例方法的施教时机,针对命题自身特点,具体问题具体分析,在多种方式、方法中选择构造反例的最佳思维策略,以期迅速达到理想的教学效果。

五、结语

数学是一种智巧,要举出不同层次数学对象的反例还需要有一定的、甚至很高的数学修养。数学中的反例以一种独特的思维方式,帮助人们解决问题。寻求反例的过程既要数学知识与经验的积累,还要运用多种数学思想方法和技巧。在中学数学教学中,鼓励学生多举反例,加深对数学知识的掌握的同时,多层次多角度地观察问题、思考问题、解决问题,从而提高学生的个人修养,培养学生的创造力和发散思维能力。要充分挖掘反例的功能,让我们的数学能力得到全面提高。

专访菲尔兹奖得主高尔斯:漫游音乐与数学,发现古老猜想反例

蒂莫西·高尔斯在世界顶尖科学家论坛现场

数学家高尔斯偶尔在公开场合表演爵士钢琴。40多年前,他是唱诗班里的小男孩,和两个妹妹一起拉小提琴,弹钢琴。在另一次人生中,他认为自己或许会与热爱数学的作曲家父亲互换身份,成为一位音乐家。

这位剑桥大学纯数学与数理统计系研究教授、《普林斯顿数学指南》、《牛津通识读本:数学》作者曾在音乐和数学的天地间漫游,直到在剑桥大学三一学院的课堂上,他发现了巴拿赫空间并被深深吸引。

大多数巴拿赫空间是无穷维空间,可看成通常向量空间的无限维推广。这一理论由波兰数学家巴拿赫(S.Banach)在1920年提出。

“关于巴拿赫空间,有一些古老猜想,例如,是否每个巴拿赫空间带有某种性质?”高尔斯在专访中告诉澎湃新闻(www.thepaper.cn)记者,“在之前,没有人知道是否存在反例。”

56岁的高尔斯一头白发,身型瘦高。他说话语速不快,回答记者提问时会不时地陷入思考,偶尔被自己逗笑。

蒂莫西·高尔斯接受澎湃新闻专访

1991年的夏天,博士毕业不久的高尔斯找到了古老猜想的反例——他发现了一个完全不具备对称性的巴拿赫空间。

这之后,如1995年怀特海奖的评语所言,高尔斯“在五年内让巴拿赫空间的几何完全改变了面貌”。他塑造了一系列巴拿赫空间中完全不具备对称性的结构,解决了臭名昭著的巴拿赫超平面问题,提出高尔斯二分法定理。

1998年,因将功能分析和组合学领域连接起来,35岁的高尔斯摘得了数学领域的皇冠——菲尔兹奖。

早早收割数学最高奖的他获得了更多自由思考的空间。最近10年,高尔斯将人工智能视为自己的“副业”,对瓦解人类在数学领域的独特性饶有兴致。

他对这看似“自我毁灭式”的研究爱好着迷,甚至预言“五十年后,如果还有人类数学家在努力寻找定理的证明,我会感到惊讶。”

“也许另一次人生中,我会成为音乐家”

1963年,蒂莫西·高尔斯出生在英国威尔特郡的一个艺术家庭,他在三个孩子中排老大,两个妹妹分别是作家和小提琴家。他们的父亲帕特里克·高尔斯是一位颇有名望的作曲家,《福尔摩斯探案集》片头那段脍炙人口的主题曲《221B Baker Street》就出自他之手。祖父是英国著名政府官员和作家欧内斯特·高尔斯爵士,先祖是研究帕金森氏症的先驱神经学家威廉·理查德·高尔斯。

蒂莫西·高尔斯从小展现出音乐天赋,他常演奏乐器,擅长小提琴和钢琴,在英国一个知名唱诗班唱歌。

被一群音乐家包围的高尔斯从父亲那里获得了数学启蒙。聊到父亲,高尔斯提了兴致,他谈到,父亲酷爱数学和电子学,还曾尝试自学大学数学。

在高尔斯还是个孩子的时候,父亲常与他谈论数学。“很长一段时间内,我真的不懂他在说什么”。

青年时期的蒂莫西·高尔斯 资料图

进入大学后,高尔斯立志成为专业数学家,他的数学能力也渐渐赶超父亲。“直到有一天,我们俩谈论的水平旗鼓相当。这种情况持续了两周左右,再之后”,蒂莫西颇有些自豪地笑着说,“变成他听不懂我在说什么了”。

音乐没有成为蒂莫西·高尔斯最终的职业,但日常演奏钢琴的习惯持续至今,“偶尔在公共场合演奏爵士钢琴,不弹古典”。

他喜欢在提到数学问题时以钢琴曲作比喻。“很多人害怕数学,是因为总会遇到不懂的知识,这很正常”,高尔斯说,对任何数学家来说都是如此。但如果想了解这些东西,他会花时间做一些工作。“这有点像学乐器。如果你有过起初不会弹某首钢琴曲,练习之后顺利弹奏的经历,就会意识到:你可以完成一些起初看起来很难的事情,只是需要练习。”

就像父亲把数学的兴趣传给他一样,蒂莫西很高兴自己的音乐天赋传给了其中一个孩子。他的儿子后来成为了一位钢琴家和风琴家。

发现古老猜想的反例

巴拿赫空间(Banach space)理论是高尔斯早期的重要研究领域。他运用组合数学的方法,在巴拿赫空间中塑造了一系列完全不具备对称性的结构。这也是他自认为能够获得菲尔兹奖的主要原因。

在剑桥大学三一学院,匈牙利组合数学家博洛巴什(Béla Bollobás)的课堂上,高尔斯对巴拿赫空间产生深刻兴趣。他的博士毕业论文以此为题,提交于1990年。

高尔斯介绍,“巴拿赫空间是无限维空间的概念。在这个无限维空间里,有不同的距离概念,可以用很多不同的方法来定义距离。每一种定义距离的方法都会产生一个巴拿赫空间”。他为之着迷。

“大概在1991年的夏天”,高尔斯对澎湃新闻(www.thepaper.cn)记者回忆起,他通过“三个灵感瞬间”和一些辛苦工作,发现了一个完全不具备对称性的巴拿赫空间,找到了巴拿赫空间古老猜想的反例。

这样的灵感瞬间有时发生在火车上。1991年至1995年,高尔斯在伦敦大学学院担任讲师。他在剑桥和伦敦两地通勤,以火车为交通工具,他发现火车是一个很好的工作场所,在上面“至少取得了一个真正的研究突破”。

作一名数学家让高尔斯“更为系统地思考人生境遇”。6年前,高尔斯罹患心房颤动,需决定是否接受手术治疗。“接受或不接受都会有一定的风险,大多数人采取的方式是咨询医生,但我想以数学家的方式思考这个问题。” 高尔斯笑着说。

他查阅资料并计算得出,接受手术会有千分之一的几率导致死亡。“我是否应该担心千分之一的死亡率?”他随即查阅了同龄人在一个月内死亡的几率,找到了相应数据。结果是,手术的死亡率和在两个月正常生活中的死亡率相同。而他不担心接下来两个月的正常生活,所以也“无需害怕这个手术的风险”。最终,高尔斯选择接受了手术。

“我的工作终将被计算机取代”

近25年,高尔斯的主要研究方向在组合学,尤其是加性组合(additive combinatorics)。但在大约十年前,人工智能的自动定理证明成为了他的另一个兴趣。这也是他在世界顶尖科学家论坛中提及最多的话题。

蒂莫西·高尔斯在世界顶尖科学家论坛现场

自动定理证明涉及模式识别和逻辑推理,其最终目标,是让计算机产生新的数学发现。尽管离目标还很远,但高尔斯认为,这是一个“令人着迷的想法”。

不同于其他捍卫人类在数学领域独特性的数学家,采访中,高尔斯带着些许犹豫地说,“我可能会在时间精确性上出错……但五十年后,如果还有人类数学家在努力寻找定理的证明,我会感到惊讶。”

通常,人们认为具有创造性要求的工作很难被人工智能取代,数学正属此类。但高尔斯认为,数学研究所需的创造性“并非无法在计算机上复制”。

他说,计算机可以证明数学公式和定理,甚至自成体系。如果机器一旦到了某种程度,也许以后证明数学公式只需要直接在计算机里面输入即可。

“我所从事的数学研究工作是最终会被计算机取代的工作之一”,他想了想,接着说:“但我认为这还有很长一段时间,也许几十年,比取代汽车工厂工作所需的时间更久”。

“如果这样的事情真的发生,数学家应该怎么办?”

面对澎湃新闻(www.thepaper.cn)的提问,高尔斯沉思片刻,然后表示他无法给出答案。

“但在整个人类历史中”,他试着解释,“很多人类做过的工作,后来都被技术超越,人类不再被需要。我想数学研究可能就是其中之一”。

“这种现象会越来越普遍,到那时,我们需要找到生存的新意义。”

澎湃新闻与蒂莫西·高尔斯对话节选:

澎湃新闻:

一种广泛流传的说法称数学家的学术巅峰在年轻时期,如何看待这一观点?

蒂莫西·高尔斯:

现在的规定是菲尔兹奖只能颁发给40岁以下的人,所以相比于诺贝尔奖得主,大多数获奖的数学家都很年轻。很多数学家确实在40岁前完成了他们最好的工作,但这并不代表40岁后就做不了重要工作。

我认为有这种说法的部分原因是,如果你在40岁前就有了很大成就,会得到一些额外奖励。之后会出现两种情况,一种是,你会有额外的压力,例如帮别人写推荐信、担任委员会成员等等;另一种是,你得到了所有想得到的认可,压力变小了。

在我看来,大多数人对此的反应并不是停止工作。当然也有人得了菲尔兹奖后就立刻停止研究数学,选择从政,例如现在的巴黎市长候选人之一赛德里克·维拉尼,但这并不常见。

大多数人获奖后会有更多自由空间去思考,有时候并不围绕他们最初的研究兴趣。事实上,对我来说,开始研究人工智能就是如此。我不是这方面的专家,我大概从十年前开始研究人工智能,但没有把所有时间都花在这上面。

澎湃新闻:

对于25岁左右的研究者,你会给他们接下来的五年提出什么建议?

蒂莫西·高尔斯:

25岁左右的话,可能意味着你已经拿到了博士学位。我认为在这个年龄,最重要的是不要满足于你已经达到的目标,觉得“我已经能做这些了,我要继续做这个”,而是应该尝试做一些更困难或是更具挑战性的东西。

这可能会花费很长时间,但尽可能提升自己也是非常重要的。

每个人总有一天会说,“我不会再尝试做更困难的事”。但是对于25岁左右的人来说,现在做决定还为时过早。

澎湃新闻:

数学和英语之外,你还有别的爱好吗?

蒂莫西·高尔斯:

和大多数人一样,我喜欢看书和去美术馆,但我并没有比别人更喜欢这两项活动,所以我不把它们称作爱好,只是我喜欢做的事情。

我不以严肃的方式做任何大发1分快三。数学和音乐是我最主要的两个爱好。

澎湃新闻:

你喜欢读什么样的文学作品?

蒂莫西·高尔斯:

有时候是小说,有时候是非虚构。我很喜欢看法语作品,因为我的妻子是法国人,看法语小说能够提高我的法语水平。

澎湃新闻:

你曾主编《普林斯顿数学指南》、《牛津通识读本:数学》等数学书籍,为什么会参与其中?有何收获?

蒂莫西·高尔斯:

主编《普林斯顿数学指南》是受人邀请,这与我之前的想法非常接近。这决定其实有点傻,因为它花了我五年的时间。但同时,我也很高兴这么做,因为这本书非常成功,很多人告诉我,他们很需要有这样一本书,能帮到他们。

澎湃新闻:

在采访结束之前你有什么想补充?

蒂莫西·高尔斯:

我想我还是要重复前面说过的话,对于害怕数学的人,我的答案是:不要害怕。

如果你发现一些困难的东西,不是因为你不会做数学,而是因为你有错误的期望。如果你期望你应该立即理解所有的事情,那么你当然会失望。但是如果抱着这样的期望努力去理解一些东西,那么最终你会理解它。

一旦你开始这么做,你就会开始享受数学的乐趣。

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